☛ Résolution d'équations

Propriété

Pour tout réel \(x\)  et pour tout rée l  \(y\)  strictement positif, on a \(\boldsymbol{\text{e}^x=y \Leftrightarrow x = \ln(y)}\) .

Énoncé

Résoudre les équations suivantes.

1. \(\text{e}^{x-4}=7\)                      
2. \(\ln(x+6)=-1\)

Solution

1. L'équation est définie pour tout réel \(x\) .
\(7>0\) , on peut donc appliquer la propriété énoncée ci-dessus.
Pour tout réel \(x,\)
\(\ \text{e}^{x-4}=7 \Leftrightarrow x-4=\ln(7)\)
\(\ \text{e}^{x-4}=7 \Leftrightarrow x=4+\ln(7)\)
\(\mathscr{S}=\left\{4+\ln(7)\right\}\)

2. L'équation est définie si et seulement si \(x+6>0\) .
\(x+6>0 \Leftrightarrow x>-6\) .
Pour tout réel \(x>-6,\)
\(\ln(x+6)=-1 \Leftrightarrow x+6=\text{e}^{-1}\)
\(\ln(x+6)=-1 \Leftrightarrow x=\text{e}^{-1}-6\)
\(\mathscr{S}=\left\{\text{e}^{-1}-6\right\}\)